Nie męcz głowy formułami,
Ucz się bawiąc razem z nami!






Część I - Gry Edukacyjne
  1. Gra w 5 Kostek
  2. Słówka 1
  3. Słówka 2
  4. Magiczny kwadrat 1
  5. Magiczny kwadrat 2
  6. Magiczny kwadrat 3
  7. Wilk Koza i Kapusta
  8. Klastry
  9. Klasterki
  10. Liczba
  11. Bingo - Loteryjka
  12. Tabliczka
Część II - Zabawna Matematyka
  1. Liczymy bez liczb
  2. Liczymy UFO
  3. System dwójkowy
  4. System trójkowy
  5. System dziesiętny
  6. Liczby i kształty
  7. Liczbowe sześciany
  8. Rzeźbimy 3D
  9. Dodawanie obiektów
  10. Dodajemy liczby
  11. Algorytm dodawania
  12. Algorytm odejmowania
  13. Mnożenie przez dodawanie
  14. Mnożenie liczb całkowitych
  15. Algorytm mnożenia
Część III - Programy Pomocnicze
Matematyka komputerowa
  1. Konwersja binarna
  2. Dodawanie liczb binarnych
  3. Odejmowanie liczb binarnych
  4. Mnożenie liczb binarnych
  5. Dzielenie liczb binarnych
  6. Konwersja 10/16
  7. Konwersja IP/10
Programy Pomocnicze - Arytmetyka
    Wkrótce





 
Część I - Gry Edukacyjne - to najlepsza i najprzyjemniejsza forma kształcenia.



Opracowane przez nas gry uczą nowych rzeczy i bawiąc rozwijają umiejętność logicznego myślenia i samodzielnego rozwiązywania zadań.

Uczą myśleć samodzielnie co jest niezwykle gdyż umożliwia młodej osobie samodzielne wzbogacanie wiedzy i umiejętności na zasadzie analizowania i rozumienia, a nie bezmyślnego wkuwania.

Podane opisy gier nie zawsze są kompletne i nie wyczerpują wszystkich możliwości. Zrobiliśmy to celowo, ponieważ chcemy skłonić gracza do eksperymentowania i wykrywania ukrytych prawidłowości. To powinno dać więcej satysfakcji niż samo granie. Poniżej podajemy opisy aktualnych gier. Będzie ich coraz więcej.

Autor ma nadzieję, że gry nie tylko będą się podobały, ale także, skłonią Was do zgłaszania pomysłów nowych gier. Jeśli znacie jakieś ciekawe gry logiczne czy matematyczne opiszecie je i prześlijcie emailem do nas. Może będzie można je zaadaptować i zamieścić na naszym portalu. Być może zaprojektujemy je razem.


Witold Wójcik

Opisy gier edukacyjnych
  1. Gra w 5 Kostek
  2. Słówka 1
  3. Słówka 2
  4. Magiczny kwadrat 1
  5. Magiczny kwadrat 2
  6. Magiczny kwadrat 3
  7. Wilk Koza i Kapusta
  8. Klastry
  9. Klasterki
  10. Liczba
  11. Bingo - Loteryjka
  12. Tabliczka



 
Gra w 5 Kostek

Ćwiczone umiejętności:

  • Dodawanie
     
  • Mnożenie
     
  • Ocena szansy
     
  • Strategia


  • Gra w 5 kostek może być pomocna przy nauce dodawania i mnożenia oraz wyjaśnienia pojęcia prawdopodobieństwa. Element współzawodnictwa skłania do myślenia, oceny szansy, próby znalezienia strategi działania. Gra oczywiście zawiera elementy emocjonalnej rozrywki.
     

     5 jednakowych wartość piątki razy 1500
     4 jednakowe wartość czwórki razy 250
     3 jednakowe
     plus 2 jednakowe
     50 razy wartość trójki
     plus 20 razy wartość dwójki
     3 jednakowe 10 razy wartość trójki
     po kolei od 2 20 punktów
     po kolei od 1 15 punktów
     dwie pary połowa wartości dwóch par
     para wartości pary
     brak układu zero punktów
    Zasada gry jest następująca:
    Kostki rzucamy dwa razy.
    Pierwszym razem wszystkie kostki z kubka. Następnie wkładamy z powrotem do kubka tylko te, które chcemy wyrzucić ponownie.

    Wygrywa gracz, który uzyskał więcej puntów. Punktacja pokazana jest w tabelce po lewej stronie. Gra dostępna jest w dziale Gry i zabawy.



    opracował Witold Wojcik




     

    Słówka 1

    Ćwiczone umiejętności:

  • Słownictwo
     
  • Ortografia
     
  • Strategia


  • Gra Słówka ma na celu wzbogacenie słownictwa w zakresie języka polskiego. Użyte słowa mogą być trudne dla młodych graczy i mogą wymagać użycia słownika lub encyklopedii. Grać można samemu albo z rodzicami, jednakże uczestnictwo rodzica może być dodatkową zachętą, a udzielona pomoc zapobiegnie powstaniu zniechęcenia. Trudne słowa po odgadnięciu warto wyjaśnić w celu wzbogacenia języka. Grę wykorzystuje się także do wyjaśnienia roli samogłosek i spółgłosek w budowie słów.

    Słówka, to gry polegające na odgadnięciu i uzupełnieniu liter w słowie. W słówkach 1, należy odgadnąć jaka litera może ewentualnie znajdować się w słowie, a następnie wpisać ją do białego pojedynczego pola po lewej stronie.

    Jeśli wpisana litera występuje w słowie więcej niż jednokrotnie wszystkie miejsca jej występowania będą uzupełnione tą literą, a gracz otrzymuje punkt.

    Jeśli litera nie występuje, gracz traci jeden punkt. Grę obserwuje sowa, która traci zainteresowanie w czasie gdy gracz robi błędy.

    Wszystkie użyte litery są wyświetlane, aby ich nie używać ponownie. Po uzupełnieniu wszystkich liter gra jest zakończona, co jest sygnalizowane aplauzem, a wynik jest wyświetlany pod odgadniętym słowem.

    Gra dostępna jest w dziale Gry i zabawy.

    Powodzenia!

    opracował Witold Wojcik




     

    Słówka 2

    Ćwiczone umiejętności:

  • Słownictwo
     
  • Ortografia
     
  • Strategia


  • Gra umożliwia wzbogacenie słownictwa oraz naukę ortografii. Warto aby w niej uczestniczyli rodzice w celu zachęcenia dziecka oraz ze względu na konieczność wyjaśnienia znaczenia niektórych słów. Przy trudniejszych słowach warto zachęcić gracza do użycia słownika lub encyklopedii.

    Słówka, to gry polegające na odgadnięciu i uzupełnieniu liter w słowie. W grze Słówka 2 należy odgadnąć litery znajdującą sie na pustych pozycjach w słowie, a następnie wpisać je tam. Każdą literę odgadujemy osobno.

    Gra ma za zadanie pomóc w opanowaniu pisowni i ortografii niektórych trudniejszych wyrazów. Jeśli litera jest prawidłowa, zostaje wpisana, a gracz otrzymuje punkt i brawa.

    Jeśli litera jest nieprawidłowa, zostaje wymazana, gracz traci jeden punkt i jest poinformowany o swym błędzie przez Matyldę.

    Po uzupełnieniu wszystkich liter gra jest zakończona i wyświetlany jest wynik. Gra może być wykorzystana do pokazania roli samogłosek i spółgłosek w budowie słów.

    Gra dostępna jest w dziale Gry i zabawy.

    Powodzenia!

    opracował Witold Wojcik







     

    Magiczny kwadrat 1



    Ćwiczone umiejętności:

  • Analiza i Synteza
     
  • Dodawanie
     
  • Odejmowanie
     
  • Logika
     
  • Strategia


  • Magiczny kwadrat to gra rozrywkowa dla młodszych i starszych. Można ją wykorzystać do nauki liczb w zakresie 0-9 oraz do nauki ich dodawania. Gra skłania do experymentowania i odgadywania ukrytych zasad. Pomoc i zachęta ze strony rodziców jest konieczna po to aby wyjaśnić zasady oraz zapobiec przedwczesnemu zniechęceniu. Magiczny kwadrat został zbudowany z liczb w taki sposób, że sumy w kolumnach i wierszach są jednakowe. Wartość tej sumy jest każdorazowo wyświetlana na planszy.

    Gra polega na odgadnięciu liczb ukrytych pod kolorowymi polami w poszczególnych kratkach kwadratu. Liczby te są cyframi systemu dziesiętnego.

    Aby rozpocząć grę wprowadź kursor klikając myszką w dowolne pole w kwadracie. Za prawidłowo wpisaną liczbę otrzymujesz 1 punkt dodatni, za niewłaściwą 1 punkt ujemny. Wynik pojawia się po lewej stronie.

    Koniec gry ogłasza trąbka, a jeżeli Twój wynik był wysoki, dodatkowo otrzymujesz brawa. Gra kwadrat 1 zawiera ukryte zasady zawarte w doborze kolorów, znajdź je, a pomoże Ci to uzyskiwać wyższe wyniki.

    Gra dostępna jest w dziale Gry i zabawy.

    Powodzenia!

    opracował Witold Wojcik







     

    Magiczny kwadrat 2



    Ćwiczone umiejętności:

  • Analiza i Synteza
     
  • Dodawanie
     
  • Odejmowanie
     
  • Logika
     
  • Strategia


  • Magiczny kwadrat 2 różni się od poprzedniego zasadą użycia kolorów oraz ujawnieniem niektórych liczb. Podobnie jak poprzednia, gra, aby spełniła swoje zadania wymaga zaangażowania i zachęty ze strony rodziców. To przyniesie konkretne rezultaty. Zastosowanie gry jest podobne jak poprzedniej

    Magiczny kwadrat został zbudowany z liczb w taki sposób, że sumy w kolumnach i wierszach są jednakowe. Wartość tej sumy jest każdorazowo podawana na planszy.

    Gra polega na odgadnięciu liczb ukrytych pod kolorowymi polami w poszczególnych kratkach kwadratu. Liczby te są cyframi systemu dziesiętnego. Niektóre liczby są widoczne.

    Aby rozpocząć grę wprowadź kursor klikając myszką w dowolne pole w kwadracie, po czym możesz wpisać liczbę. Za prawidłowo wpisaną liczbę otrzymujesz 1 punkt dodatni, za niewłaściwą 1 punkt ujemny. Wynik pojawia się po lewej stronie.

    Koniec gry ogłasza trąbka, a jeżeli Twój wynik był wysoki, dodatkowo otrzymujesz brawa.

    Gra dostępna jest w dziale Gry i zabawy.

    Powodzenia!

    opracował Witold Wojcik






     

    Magiczny kwadrat 3



    Ćwiczone umiejętności:

  • Klasyfikacja liczb
     
  • Analiza i Synteza
     
  • Dodawanie
     
  • Odejmowanie
     
  • Logika
     
  • Strategia


  • Magiczny kwadrat 3 ma za zadanie zaznajomić gracza z własnościami i klasyfikacją liczb. Znajomość tych elementów pozwala na skuteczne odgadnięcie każdej ukrytej cyfry. Uczestnictwo rodzica w grze jest celowe ze względu na konieczność wyjaśnienia zasad oraz pojęć związanych z własnościami i klasyfikacją liczb. Warto również skorzystać z ćwiczeń w dziale matematyka. Wyjaśniają one te pojęcia i pokazują przykłady. kwadrat 3 sprawdzi i utrwali wiadomości z podstawowej klasyfikacji liczb naturalnych. Magiczny kwadrat został zbudowany z liczb w taki sposób, że sumy w kolumnach i wierszach są jednakowe. Wartość tej sumy jest każdorazowo podawana na planszy.

    Należy znaleźć i wpisać liczby ukryte pod kolorowymi polami. Po najechaniu myszką na kolorowe pole pojawia się wskazówka dotycząca ukrytej pod nim liczby. Jeśli nie rozumiesz wskazówek poszukaj informacji w dziale Matematyka.

    Za prawidłowo wpisaną cyfrę otrzymujesz 1 punkt dodatni, za niewłaściwą1 punkt ujemny. Wynik pojawia się po lewej stronie. Po wpisaniu wszystkich liczb, koniec gry ogłasza trąbka. Jeżeli Twój wynik był wysoki w nagrodę otrzymujesz extra bonus.

    Znajdź ukrytą zasadę zawartą w doborze kolorów, a uzyskasz lepsze wyniki.

    Gra dostępna jest w dziale Gry i zabawy.

    Powodzenia!

    opracował Witold Wojcik






     

    Wilk Koza i Kapusta

    Ćwiczone umiejętności:

  • Analiza i Synteza
     
  • Pomysłowość
     
  • Logika
     
  • Strategia


  • To ćwiczenie pomysłowości i logicznego myślenia. Pomoże ono wyćwiczyć upór w rozwiązywaniu zadań oraz skłoni do eksperymentowania i poszukiwania rozwiązania metodą prób i błędów. Jeśli ta zawiedzie logiczne myślenie i odrzucenie nieskutecznej drogi doprowadzi do rozwiązania.

    Wilk, koza i kapusta - to słynna łamigłówka z ósmego wieku wymyślona, jak głosi legenda, przez anglosaskiego mnicha Alkuina.

    A oto nasza, współczesna wersja: Gospodarz musi przeprowadzić wilka, kozę i przenieść kapustę na drugą stronę rzeki. Na raz może wziąźć tylko jedno z nich. Jak sobie z tym poradzi?

    Gra jest interaktywna i wymaga umiejętności przesuwania obiektów za pomocą myszki (drag and drop). Należy uważać, aby nie upuścić obiektu do rzeki, poza teren gry oraz nie ustawić go zbyt blisko rzeki lub granicy widocznego terenu gry, gdyż w ten sposób można go stracić.

    Gra dostępna jest w dziale Gry i zabawy.

    Na podstawie popularnej zagadki
    opracował Witold Wojcik








     

    Klastry

    Ćwiczone umiejętności:

  • Analiza i Synteza
     
  • Spostrzegawczość
     
  • Logika
     
  • Strategia


  • Popularna gra Sudoku zyskała sobie wielu zwolenników wśród starszych i młodszych. Nasza gra generowana jest automatycznie przez komputer na podstawie stworzonego algorytmu, który umożliwia, że kolejne przykłady nie są jednakowe. Gra wymaga logicznego myślenia ale dzięki interwencji komputera, który nie dopuszcza do wpisywania błędnych cyfr jest nieco łatwiejsza. Jeśli nie chcemy skorzystać z pomocy komputera planszę gry można wydrukować i rozwiązywać na papierze. Nie będzie się ona w tym przypadku różnić od tradycyjnej. Celem gry jest wyćwiczenie logicznego myślenia i młodsi gracze powinni skorzystać z pomocy rodziców, chociaż lepszym rozwiązaniem jest aby rozpoczęli specjalnie dla nich stworzonego Sudoku dla najmłodszych.

    Duży kwadrat o wielkości 9 na 9 kratek podzielony jest na 9 mniejszych kwadratów o wielkości 3 na 3 kratki. Mniejsze kwadraty zaznaczono kolorami.

    W każdym z małych kwadratów powinny się znaleźć wszystkie liczby od 1 do 9. Jednocześnie wymagane jest, aby w każdej kolumnie i wierszu dużego kwadratu znajdowały się również wszystkie liczby od 1 do 9.

    Miejsc w małych kwadratach jest dziewięć, więc każda liczba może wystąpić tylko raz. Podobnie jest z wierszami i kolumnami dużego kwadratu. Spróbuj rozwiązać tę łamigłówkę... Możesz to zrobić na komputerze lub wydrukować i rozwiązać na kartce papieru. Komputer nie pozwala wpisywanie błędnych cyfr.

    Przyjemnej zabawy.

    Gra dostępna jest w dziale Gry i zabawy.

    opracował Witold Wojcik









     

    Klasterki

    Ćwiczone umiejętności:

  • Analiza i Synteza
     
  • Spostrzegawczość
     
  • Logika
     
  • Strategia


  • Klasterki to Sudoku dla najmłodszych. Jest znacznie łatwiejsze, a zatem nie zniechęca młodszych dzieci. Uczestnictwo rodzica jest jednak wskazane ze względu na konieczność wyjaśnienia zasad i pomoc przy rozwiązywaniu. Gra uczy logicznego rozumowania, analizy i determinacji przy rozwiązywaniu zadań.

    Duży kwadrat o wielkości 4 na 4 kratek podzielony jest na 4 mniejsze kwadratów o wielkości 2 na 2 kratki. Mniejsze kwadraty zaznaczono kolorami.

    W każdym z małych kwadratów powinny się znaleźć wszystkie liczby od 1 do 4. Jednocześnie wymagane jest, aby w każdej kolumnie i wierszu dużego kwadratu znajdowały się również wszystkie liczby od 1 do 4.

    Miejsc w małych kwadratach jest cztery, więc każda liczba może wystąpić tylko raz. Podobnie jest z wierszami i kolumnami dużego kwadratu. Spróbuj rozwiązać tę łamigłówkę... Możesz to zrobić na komputerze wpisując odpowiednie cyfry w puste kratki lub wydrukować i rozwiązać na kartce papieru. Po opanowaniu gry klasterki, warto spróbowąć swoich sił rozwiązując Klastry czyli Sudoku dla starszych graczy.

    Rozwiązywanie na komputerze jest prostsze, bo komputer nie pozwoli na wpisanie nieprawidłowej cyfry. Przyjemnej zabawy.

    Gra dostępna jest w dziale Gry i zabawy.

    opracował Witold Wojcik








     

    Liczba

    Ćwiczone umiejętności:

  • Analiza i Synteza
     
  • Kolejność liczb
     
  • Logika
     
  • Strategia


  • Celem gry jest zaznajomienie gracza z pojęcia mniejsza, większa i równa w odniesieniu do liczb. Młodsze dzieci zapozna z liczbami w zakresie 0-100 oraz pojęciem osi liczbowej. Pomoc rodziców lub nauczyciela jest mile widziana ponieważ unikniemy problemu zniechęcenia gracza. Ważne jest aby gracz próbował znaleźć strategię umożliwiającą uzyskanie lepszych wyników. W czasie gry można wyjaśnić pojęcie przypadkowego wyboru, prawdopodobieństwa itd. Jeśli zgadującym jest gracz, może on wybrać liczbę na osi liczbowej i kliknąć aby ją wprowadzić. Może też wpisywać liczbę w okno gracza, ale jest to bardziej uciążliwe, gdyż trzeba klikać w pole liczby komputera aby uzyskać jego reakcję.

    Jeśli zgaduje komputer, aby uzyskać jego reakcję klikamy w pole jego liczby.

    Liczbę można oczywiście odgadnąć przypadkowo za pierwszym razem, ale prawdobodobieństwo takiego zdarzenia jest niewielkie około 1 szansy na sto. Istnieje jednak strategia, która zapewnia odgadnięcie liczby nie później niż za 7 razem. Odgadnij ją, a pokonasz komputer, gdyż on jej nie stosuje.

    Gra dostępna jest w dziale Gry i zabawy.

    opracował Witold Wojcik






     

    Bingo - Loteryjka


     

    Ćwiczone umiejętności:

  • Liczby 0-99
     
  • Nazwy liczb
     
  • Zapis liczb
     
  • Spostrzegawczość
     
  • Strategia



  • Gra zapoznaje młodsze dzieci z liczbami 0-99 jest jednak chętnie grana także przez dorosłych. Stwarza znakomitą okazję do nauki liczb i wspólnej zabawy dzieci z rodzicami lub opiekunami. Pomaga wyjaśnić pojęcie losowego wyboru i prawdopodobieństwa.



    Przy większej ilości grających osób można także nagradzać drugie oraz trzecie miejsce przez odpowiednie rozdzielenie nagrody pomiędzy graczy w proporcjach np. 60%, 30% i 10%.

    Zaznaczając liczby, należy pamiętać, że mogą się one powtarzać na kartach i po wywołaniu każdej trzeba zaznaczyć wszystkie takie liczby na wszystkich posiadanych kartach.

    Opis gry:

    Aby przygotować grę wpisz imię gracza, ustaw ilość kart, kliknij [zapisz], a następnie [drukuj karty]. Zrób tak dla wszystkich graczy. Na koniec kliknij [start].

    Imię gracza:   Ilość kart:         [ start ]


    W czasie gry komputer losuje przypadkowo liczby od 0 do 99 i oznajmia je grającym.
    Ustaw czas pomiędzy kolejnymi losowaniami tak aby grający zdążyli sprawdzić karty. Obecnie czas między losowaniem kolejnych liczb wynosi: sekund. Możesz go zmienić klikając na przycisk. W czasie zmiany czasu między losowaniami gra jest wstrzymana. Możesz   ją   także zatrzymać w dowolnym momencie klikając   [stop].   Aby wznowić grę należy kliknąć   [kontynuuj].

    Gra dostępna jest w dziale Gry i zabawy.

    opracował Witold Wojcik






     

    Tabliczka



    Ćwiczone umiejętności:

  • Mnożenie
     
  • Pamiętanie
     
  • Spostrzegawczość
     
  • Szybkość działań


  • Tabliczka to program treningowy do nauki mnożenia w zakresie cyfr co jest potrzebne aby móc stosować algorytm mnożenia dowolnych liczb w systemie dziesiętnym. Stosowanie kalkulatora w zakresie mnożenia cyfr jest niezwykle szkodliwe i powoduje 'kalectwo matematyczne'. Opanowanie tabliczki mnożenia pomaga rozwinąć pamięć, pomaga zrozumieć pojęcie czynników w mnożeniu oraz zaznajomić z pojęciem przemienności.

    Gra może uczynić Cię mistrzem tabliczki mnożenia już po kilku rundach. Jest grą indywidualną, ale możesz porównywać swoje rezultaty z wynikami innych, wysyłając swój najlepszy wynik.

    Oczywiście lepiej będzie, jeśli uda Ci się wypełnić wszystkie pola i nie zrobisz zbyt wielu błędów. Za każdy błąd i puste pole otrzymujesz karne sekundy, a obecność pustych pól uniemożliwia Ci uzyskanie tytułu mistrza. Nie przejmuj się jednak zbytnio, nie wszyscy od razu są mistrzami. Wynik wysyłasz po ukończeniu gry i wpisaniu danych gracza:

    Gracz:   wynik:    

    Błędy:   Przeoczenia:

    Lista najlepszych zawodników i ich wyniki:
    LpZawodnikczas[sek]Stopień
    1Janek K310uczeń




    Powodzenia!

    Gra dostępna jest w dziale Gry i zabawy.

    Opracował: Witold Wójcik






     
    Część II - Zabawna Matematyka - to skuteczna metoda umożliwiająca rozumienie matematyki i rozwijająca zdolności matematyczne.



    Nasze ćwiczenia z zakresu matematyki mają za zadanie uczyć i bawić. Nie mamy ambicji wykształcić słynnych matematyków, ale chcemy, aby nasi uczniowie stali się entuzjastami tej gałęzi wiedzy, która wbrew pozorom nie musi być ani trudna, ani nudna. Jak każda inna nauka, aby stała się łatwa, musi być lubiana przez uczniów, zatem musi być ciekawa, pobudzająca wyobraźnię i pożyteczna.

    O pożyteczności matematyki, zwłaszcza tej bardziej zaawansowanej, wymagającej głębszego zrozumienia, trudno jest uczniów przekonać ucząc ich mechanicznych regułek i zachęcając do korzystania z kalkulatora nawet przy najprostszych działaniach arytmetycznych. Aby matematykę umieć, trzeba ją lubić, a aby ją polubić, trzeba poznać jej piękno.

    Mechaniczne wkuwanie zastąpić rozumieniem, a wtedy wszystko staje się proste, oczywiste i nie wymagające nadmiernego pamiętania. Człowiek jest stworzony tak, aby poznawać i rozumieć istotę rzeczy, wtedy nabiera poczucia własnej wartości i zadowolenia z siebie. Tym celom poświęcamy serię naszych ćwiczeń/wykładów ze wstępu do matematyki.


    Witold Wójcik




     

    Liczymy bez liczb

    Ćwiczone umiejętności:

  • Analiza i synteza
     
  • Logika
     
  • Wyobrażnia
     
  • Wnioskowanie
     
  • Abstrachowanie


  • Co to znaczy liczyć? Co to jest liczba? Jak porównywać zbiory? Te i inne pytania należy wyjaśnić aby przygotować dziecko do nauki matematyki. Może to zrobić rodzic lub nauczyciel stosując prosty przykład gry. Pojęcia powinny być wprowadzane w taki sposób aby ich zrozumienie było intuicyjne i nie wymagało przedwczesnego definiowania. Ćwiczenie pozwala wyjaśnić potrzebę zapisywania licz za pomocą symboli, a podane w opisie przykłady pokazują trudną drogę matematyków do stworzenia dzisiejszego systemu zapisu liczb.

    Jak liczyć nie znając liczb? Wydaje się to niezwykle trudne, a jednak ludzie radzili sobie z tym problemem bardzo dobrze i liczyli ! Nie nazywali jednak liczb. Jak to możliwe?

    Wystarczy porównać zbiory ! Aby to zrobić trzeba utworzyć pary, gdzie każdą parę stanowi jeden element z pierwszego zbioru i jeden element z drugiego zbioru, jedna owca - jeden kamień. Oczywiście za każdym razem są to inne elementy, zatem i pary są różne.

    Po utworzeniu wszystkich par, jeśli w żadnym ze zbiorów nie zostaną niesparowane elementy, to zbiory zawierają taką samą ich ilość; jeśli jednak w którymś z nich zostaną jakieś elementy, to ten zbiór zawiera ich wiecej niż drugi. Proste?

    W zbiorze kamieni, utworzonym przez pasterza, każdy kamień reprezentuje zatem jedną owcę, nieważne którą, ważne, że jedną.

    Czy pasterze liczyli swoje owce? Jeśli tak, to co to jest liczenie i co to właściwie jest liczba? Intuicyjnie jest to dla nas oczywiste i jesteśmy przekonani, że to, co pasterze robili, to jakiś sposób liczenia. Oba zbiory, zbiór kamieni i zbiór owiec mają ze sobą coś wspólnego, mimo że fizycznie różnią się zasadniczo. To coś to identyczna liczność, cecha, którą, jeśli jakoś nazwiemy lub zapiszemy, stanie się liczbą.

    Takie liczby nazywamy naturalnymi ze względu na naturalny dla nas proces liczenia.

    Próby zapisania liczb naturalnych prowadziły do bardzo różnych wyników. Podstawową trudnością było to, aby wszyscy jednakowo je interpretowali. Oto przykłady zapisu liczb:

    Dostępne  na naszych stronach www.polygloteaching.com Korzystanie z gier i ćwiczeń jest możliwe  na stronach www.polygloteaching.com

    Jak widać próbowano, aby kształty kojarzyły się z ilością elementów. Oczywiście najważniejsze było żeby się umówic ile elementów przedstawia dany symbol i gdzieś to zapisać, a raczej narysować. Arabowie i Hindusi okazali się najbardziej pomysłowymi, ale o tym następnym razem...


    Ćwiczenie dostępne jest w dziale Matematyka/Fizyka/Ćwiczenia.

    opracował Witold Wójcik






     

    Liczymy UFO

    Ćwiczone umiejętności:

  • Tworzenie pojęć
     
  • Wyobrażnia
     
  • Pomysłowość
     
  • Analiza i synteza
     
  • Abstrachowanie


  • Tworzenie symboli reprezentujących liczby ma długą historię. Warto się jednak z nią zapoznać ponieważ prześledzenie toku powstawania współczesnych systemów liczbowych umożliwia uczniowi zrozumienie zagadnienia i może przyczynić się do wzbudzenia zainteresowań i pasji kreatywności. Obecnie stosowane w informatyce systemy dwójkowe, ósemkowe, szestnastkowe czy system o bazie 256 będą tym łatwiej zrozumiałe przez uczniów. Kreatywność wymaga wiedzy dotychczasowo akceptowanej ale także wymaga umiejętności pozbycia się starego modelu myślenia. Tego właśnie uczą nasze ćwiczenia matematyczne i gry. Towarzyszące im materiały w postaci opisów stanowią pomoc dla rodziców i opiekunów w ich pracy z uczniami.

    Jak już wspominaliśmy, początkowo ludzie próbowali stworzyć takie symbole, które kojarzyłyby się bezpośrednio z licznością przedstawianą za pomocą kresek czy punktów. Niestety, stworzenie osobnego znaku na każdą liczbę w potrzebnym ludziom zakresie stawało się praktycznie niewykonalne. Z tego powodu zaczęli elementy łączyć w grupy o określonej liczności i stosować odpowiednie znaki dla grup. Tak na przykład powstały liczby rzymskie. A oto inny przykład,

    Liczby Babilońskie






    Liczby Chińskie

    Jak widzicie, trzeba się było nieźle napracować przy ich zapamiętaniu, a potem pisaniu...

    Chińskie znaki pisarskie mają wielowiekową tradycję i utrzymały się do dzisiaj. Dla nas wydają się niezwykle trudne do zapamiętania i odtworzenia, jednak odpowiednio szkolony umysł potrafi je szybko i bezbłędnie rozpoznać.

    Jak widać, zarówno Babilończycy jak i Chińczycy przyjęli powszechnie stosowany system dziesiętny, łącząc liczone elementy w grupy po dziesięć i tworząc symbole dla grup.

    Dziesięć jednakowych elementów tworzyło grupę, następnie dziesięć grup tworzyło grupę bardziej liczną, którą odpowiednio nazywano i zapisywano, itd.


    Liczby arabskie

    Dokładnie nie wiadomo komu bardziej zawdzięczamy współcześnie stosowane liczby, czy Arabom czy Hindusom. Można powiedzieć, że powstały dzięki wysiłkom i jednych i drugich.

    Na ogół używamy określenia liczby arabskie mając na myśli cyfry od zera do dziewięciu, takie jakich używamy na co dzień. Cyfry arabskie oznaczały się dużą pomysłowością i w swojej pierwotnej postaci umożliwiały łatwe sprawdzenie rzeczywistej ilości, jaką reprezentowały, a zatem łatwiejsze zapamiętanie, oto one:

    Dostępne  na naszych stronach www.polygloteaching.com

    Jakie ułatwienie zawierało takie przedstawienie cyfr? Co było przyczyną konieczności wynalezienia zera?

    Ćwiczenie dostępne jest w dziale Matematyka/Fizyka.

    opracował Witold Wojcik






     

    System dwójkowy



    Ćwiczone umiejętności:

  • Organizowanie liczb
     
  • Pomysłowość
     
  • Analiza i Synteza
     
  • Wyobraźnia


  • Trudno byłoby wyobrazić sobie współczesne komputery bez dwójkowego (binarnego) systemu liczb. Przechowywanie informacji w obwodach (układach) elektrycznych czy elektronicznych stało się proste dzięki temu, że wykorzystujemy jedynie dwa różniące się zasadniczo stany a mianowicie stan włączenia i stan wyłączenia. Odpowiadają im odpowiednio jedynie dwie cyfry (liczby) zero (0)i jeden (1). Dzięki pozycyjnemu zapisowi liczb wystarczy to aby zapisać każdą dowolną liczbę. Ćwiczenie wyjaśnia magię pozycyjnego zapisywania liczb na przykładzie systemu dwójkowego i prowadzi ucznia poprzez pozornie zawiły gąszcz matematyki.

    Grupowanie obiektów.

    Grupuj obiekty po dwa. Wybierz obiekt , wskaż go myszką i przeciągnij do drugiego obiektu, a następnie upuść go na ten obiekt. Upuszczając obiekt, staraj się pokryć lewe górne rogi obu rysunków. Program nie pozwoli Ci na stworzenie grupy z więcej niż dwu identycznych obiektów, ani też nie pozwoli na łączenie różniących się od siebie grup.

    Istota systemów pozycyjnych.

    Aby ograniczyć liczbę symboli potrzebnych do wyrażenia ilości wymyślono system pozycyjny zapisu liczb. System taki może używać dowolnie wybraną ilość symboli (tą ilość nazywamy bazą, B). Symbole reprezentują kolejne liczby począwszy od zera aż do znaku odpowiadającego ostatniej liczbie. Symbole te nazywamy cyframi.

    Tak na przykład, system dziesiętny używa 10 symboli: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, system dwójkowy dwóch: {0,1}, a szestnastkowy 16 symboli: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D.F}.

    Na początku pojedyńcze elementy łączymy w grupy. System nie pozwoli Ci na zrobienie liczniejszej grupy niż przyjęta baza - B, w naszym przypadku 2. Następnie mniejsze grupy łączymy w większe , podobnie jak to było z pojedyńczymi elementami. W momencie kiedy obiekt zawiera B elementów lub B grup o identycznej wielkości, tworzy się nowa większa grupa kompletna, którą można łaczyć z jej podobną, itd.

    Po zakończeniu operacji grupowania zapisujemy ilość grup dla każdego możliwego typu grupy za pomocą cyfr od lewej do prawej, poczynając od najliczniejszych grup aż do jednostek. Jeśli brakuje grupy jakiegoś typu , to wpisujemy w to miejsce zero.

    Tak więc, każda zapisana przez nas pozycja dotyczy grup o innej wielkości i reprezentuje ich ilość. Zero oznacza brak odpowiedniej grupy.

    Każda pozycja określa ilość grup o określonej wielkości, czyli wadze. Na przykład liczba dziesiętna 203 oznacza, że istnieją 2 grupy po sto elementów, nie ma grup po dziesięć elementów oraz, że pozostały 3 elementy jednostkowe. LIczby 100, 10, i 1 to wagi poszczególnych pozycji.

    Wagi poszczególnych pozycji można obliczyć ze wzoru w=Bp
    gdzie: w jest wagą, B jest bazą systemu, a p jest pozycją liczoną od lewej do prawej zaczynając od zera.

    Przykład dla systemu dwójkowego: 1101=   1 grupa zawierająca dwie grupy po dwie grupy po dwa elementy każda, 1 grupę po 2 grupy po dwa elementy każda, brak grupy dwu elementowej i jeden element.

    1101
    oo     oo
    oo     oo
    oo
    oo
        o


    Aby określić wagi poszczególnych pozycji możemy korzystać z podanego wzoru. Wystarczy jednak pamiętać, że poczynając od jednostek dla których waga równa się 1, każda kolejna waga na lewo jest większa od poprzedniej B razy. Co dla systemu dziesiętnego oznacza: jednostki, dziesiątki, setki, tysiące itd., a dla dwójkowego: jednostki, dwójki, czwórki, ósemki, szestnastki, itd.

    Ćwiczenie dostępne jest w dziale Matematyka/Fizyka/Ćwiczenia.

    opracował Witold Wojcik






     

    System trójkowy



    Ćwiczone umiejętności:

  • Organizowanie liczb
     
  • Pomysłowość
     
  • Analiza i Synteza
     
  • Wyobraźnia


  • Trójkowy system zapisu był bardzo obiecującym systemem. Jest bardziej wydajny od dwójkowego i początkowo próbowano zastosować go w komputerach. Wymagało to zapamiętywania trzech stanów przez obwody elektryczne, stanu wyłączenia oraz dwóch stanów włączenia każdy o różnej biegunowości. Okazało się to jednak zbyt skomplikowane i na szczęście dla nas wszystkich zostało odrzucone. Znajomość kodu trójkowego nie ma praktycznego znaczenia, ale pozwala zrozumieć, że można stworzyć system o dowolnej bazie oraz systemy mieszane np system dziesiętny połączony z systemem o bazie 256 taki jakiego używa się do zapisu adresów internetowych IP albo system o bazie 16 używany do kodowania kolorów. Zrozumienie zasad tworzenia systemów liczbowych rozszerza horyzonty ucznia co pozwala mu wyjść poza tradycyjne wkuwanie i zdobyć umiejętność łatwego uczenia się nowych rzeczy.

    Grupowanie obiektów.

    Grupuj obiekty po trzy. Wybierz obiekt , wskaż go myszką i przeciągnij do drugiego obiektu, a następnie upuść go na ten obiekt, itd. Upuszczając obiekt, staraj się pokryć lewe górne rogi obu rysunków. Program nie pozwoli Ci na stworzenie grupy z więcej niż trzech identycznych obiektów, ani też nie pozwoli na łączenie różniących się od siebie grup.

    Istota systemów pozycyjnych.

    Aby ograniczyć liczbę symboli potrzebnych do wyrażenia ilości wymyślono system pozycyjny zapisu liczb. System taki może używać dowolnie wybraną ilość symboli (tą ilość nazywamy bazą, B). Symbole reprezentują kolejne liczby począwszy od zera aż do znaku odpowiadającego ostatniej liczbie. Symbole te nazywamy cyframi.

    Tak na przykład, system dziesiętny używa 10 symboli: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, system trójkowy trzech: {0,1,2}, a szestnastkowy 16 symboli: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D.F}.

    Liczone obiekty, na początku są to elementy, łączone są w grupy. W momencie kiedy obiekt zawiera B elementów lub B grup o identycznej wielkości tworzy się nowa większa grupa kompletna, którą można łączyć z jej podobną, itd.

    Po zakończeniu operacji grupowania zapisujemy liczby grup w uzyskanych w ten sposób ugrupowaniach od lewej do prawej poczynając od największych grup aż do jednostek. Zapis dokonywany jest za pomocą wspomnianych cyfr.

    Każda pozycja zajmowana przez cyfry dotyczy innej wielkości grup i reprezentuje ich ilość. Jeśli pozycja reprezentuje ilość grup o wielkości nie występującej po grupowaniu, zero reprezentuje ich brak.

    Każda pozycja określa ilość grup o określonej wielkości czyli wadze. Na przykład liczba dziesiętna 203 oznacza, że istnieją 2 grupy po sto elementów, nie ma osobnych grup po dziesięć elementów oraz, że pozostały 3 elementy jednostkowe. Liczby 100, 10, i 1 to wagi poszczególnych pozycji.

    Wagi poszczególnych pozycji można obliczyć ze wzoru w=Bp
    gdzie: w jest wagą, B jest bazą systemu, a p jest pozycją liczoną od lewej do prawej zaczynając od zera.

    Przykład dla systemu trójkowego: 210 =  2 grupy po trzy grupy po trzy, 1 grupa po trzy, brak jednostek.

    210
    ooo     ooo
    ooo     ooo
    ooo     ooo
    ooo    


    Aby określić wagi poszczególnych pozycji możemy korzystać z podanego wzoru. Wystarczy jednak pamiętać, że poczynając od jednostek dla których waga równa się 1, każda kolejna waga na lewo jest większa od poprzedniej B razy. Co dla systemu dziesiętnego oznacza: jednostki, dziesiątki, setki, tysiące itd., a dla trójkowego: jednostki, trójki, dziewiątki, dwudziestki siódemki, itd.


    Ćwiczenie dostępne jest w dziale Matematyka/Fizyka/Ćwiczenia.

    opracował Witold Wojcik






     

    System dziesiętny



    Ćwiczone umiejętności:

  • Organizowanie liczb
     
  • Pomysłowość
     
  • Analiza i Synteza
     
  • Wyobraźnia


  • Systemu dziesiętnego nie trzeba specjalnie przedstawiać ale warto wiedzieć skąd się wziął. Powstał na tej samej zasadzie jak i omawiane przedtem systemy. Liczbę dziesięć przyjęto nie bez powodu. W przypadku niemożności komunikowania się słownego lub na piśmie poszczególne cyfry systemu dziesiętnego można było pokazać na palcach rąk.

    Grupowanie obiektów.

    Grupuj obiekty po dziesięć. Wybierz obiekt , wskaż go myszką i przeciągnij do drugiego obiektu, a następnie upuść go na ten obiekt, itd. Upuszczając obiekt, staraj się pokryć lewe górne rogi obu rysunków. Program nie pozwoli Ci na stworzenie grupy z więcej niż dziesięciu identycznych obiektów.

    Istota systemów pozycyjnych.

    Aby ograniczyć liczbę symboli potrzebnych do wyrażenia ilości wymyślono system pozycyjny zapisu liczb. System taki może używać dowolnie wybraną ilość symboli (tą ilość nazywamy bazą, B). Symbole reprezentują kolejne liczby począwszy od zera aż do znaku odpowiadającego ostatniej liczbie. Symbole te nazywamy cyframi.

    Tak na przykład, system dziesiętny używa 10 symboli: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, a szestnastkowy 16 symboli: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D.F}.

    Liczone elementy, łączone są w grupy. W momencie kiedy obiekt zawiera B elementów lub B grup o identycznej wielkości tworzy się nowa większa grupa kompletna, którą można łączyć z jej podobną, itd.

    Po zakończeniu operacji grupowania zapisujemy liczby grup w uzyskanych w ten sposób ugrupowaniach od lewej do prawej poczynając od największych grup aż do jednostek. Zapis dokonywany jest za pomocą wspomnianych cyfr.

    Każda pozycja zajmowana przez cyfry dotyczy innej wielkości grup i reprezentuje ich ilość. Jeśli pozycja reprezentuje ilość grup o wielkości nie występującej po grupowaniu, zero reprezentuje ich brak.

    Każda pozycja określa ilość grup o określonej wielkości, czyli wadze. Na przykład liczba dziesiętna 203 oznacza, że istnieją 2 grupy po sto elementów, nie ma osobnych grup po dziesięć elementów oraz, że pozostały 3 elementy jednostkowe. Liczby 100, 10, i 1 to wagi poszczególnych pozycji.

    Wagi poszczególnych pozycji można obliczyć ze wzoru w=Bp
    gdzie: w jest wagą, B jest bazą systemu, a p jest pozycją liczoną od lewej do prawej zaczynając od zera.

    Przykład dla systemu dziesiętnego: 243= 2 grupy, po 10 grup po dziesięć elementów, 4 grupy po dziesięć elementów i 3 pojedyncze elementy.

    243
    oooooooooo   oooooooooo
    oooooooooo   oooooooooo
    oooooooooo   oooooooooo
    oooooooooo   oooooooooo
    oooooooooo   oooooooooo
    oooooooooo   oooooooooo
    oooooooooo   oooooooooo
    oooooooooo   oooooooooo
    oooooooooo   oooooooooo
    oooooooooo   oooooooooo
    oooooooooo
    oooooooooo
    oooooooooo
    oooooooooo
    ooo


    Aby określić wagi poszczególnych pozycji możemy korzystać z podanego wzoru. Wystarczy jednak pamiętać, że poczynając od jednostek dla których waga równa się 1, każda kolejna waga na lewo jest większa od poprzedniej B razy. Co dla systemu dziesiętnego oznacza: jednostki, dziesiątki, setki, tysiące itd., a dla trójkowego: jednostki, trójki, dziewiątki, dwudziestki siódemki, itd.

    Ćwiczenie dostępne jest w dziale Matematyka/Fizyka/Ćwiczenia.

    opracował Witold Wojcik






     

    Liczby i kształty



    Ćwiczone umiejętności:

  • Wyobrażnia
     
  • Tworzenie pojęć
     
  • Pojęcie powierzchni
     
  • Klasyfikacja liczb


  • Ćwiczenie umożliwia poznanie własności liczb. Może być także wstępem do wprowadzenia pojęcia powierzchni. Eksperymentowanie z kształtem układanych przedmiotów może być pomocne do przedstawienia niektórych figur geometrycznych i ich nazywania. Można także zastanowić się nad sposobami określania czy definiowania ich powierzchni.

    Liczbom trudno przypisać kształt. Jednakże badając je ludzie odkryli, że mają one szereg ciekawych właściwości. Weźmy jednakowe przedmioty, najlepiej kule i układajmy je obok siebie tworząc płaskie formy geometryczne, np. trójkąty, kwadraty, prostokąty, sześciokąty itd. Do uzyskania danego kształtu potrzebna jest określona liczba kul. O tej liczbie powiemy, że jest trójkątna, kwadratowa itd. w zależności od tego, jaką formę udało się ułożyć z odpowiadającej jej ilości przedmiotów.

    Oczywiście kule można układać także jedne na drugich, przez co można tworzyć pryzmy, sześciany, prostopadłościany itp. Czasem, aby utrzymać dany kształt trzeba sobie pomóc dodatkową konstrukcją . Jednak istotne jest to, jaka ilość jest potrzebna, aby uzyskać określony kształt.

    W naszym ćwiczeniu korzystamy z dwóch algorytmów (sposobów) układania kulek. Pierwszy próbuje ułożyć je w trójkąt, a drugi w kwadrat. Dla jakich liczb to się uda? Przekonajcie się klikając na klawisze + i -   Życzymy miłej zabawy.
    I jeszcze pytanie. - Czy liczba może być zarazem trójkątna i kwadratowa? Jak myślicie?

    Ze względu na ograniczoną ilość miejsca maksymalna liczba kulek wynosi 210.

    Ćwiczenie dostępne jest w dziale Matematyka/Fizyka/Ćwiczenia.

    opracował Witold Wojcik






     

    Liczbowe sześciany



    Ćwiczone umiejętności:

  • Wyobrażnia
     
  • Tworzenie pojęć
     
  • Pojęcie objętości
     
  • Klasyfikacja liczb


  • Ćwiczenie umożliwia poznanie własności liczb. Może być także wstępem do wprowadzenia pojęcia objętości. Eksperymentowanie w celu uzyskania regularnych kształtów może być pomocne do przedstawienia niektórych brył geometrycznych i ich nazywania. Można także zastanowić się nad sposobami określania czy definiowania ich objętości.

    Kule można układać jedne na drugich, przez co można tworzyć pryzmy, sześciany, prostopadłościany itp. W naszym ćwiczeniu będziemy układać zwłaszcza sześciany.
    W przypadku sześcianu ilość kul wzdłuż każdego boku musi być jednakowa.

    Zamiast układać bryły od początku co jest nieco trudne, będziemy modyfikować (zmieniać) duży sześcian, tworząc mniejsze bryły przez usuwanie niektórych kul. Wybrane kule usuwamy klikając na nie. Jeśli niechcący usuniemy niewłaściwą kulę przywracamy ją używając przycisku [ wróć ].

    Możesz układać sześciany, prostopadłościany i inne bryły. Po zbudowaniu kolejnej regularnej bryły sprawdź ilość kul stosując znany Ci wzór na objętość. Oczywiście mnożenie możesz zastąpić kolejnym dodawaniem warstw. Jeśli nie pamiętasz wzoru spróbuj go odgadnąć.

    Spróbuj tą metodą zbudować nie tylko mniejsze sześciany i prostopadłościany, ale także inne bryły np. pryzmy. Odczytaj i oblicz liczbę kul potrzebną do ich zbudowania.

    Ćwiczenie dostępne jest w dziale Matematyka/Fizyka/Ćwiczenia.

    opracował Witold Wojcik






     

    Rzeźbimy 3D



    Ćwiczone umiejętności:

  • Wyobrażnia
     
  • Pomysłowość
     
  • Tworzenie pojęć
     
  • Pojęcie objętości
     


  • W tym ćwiczeniu dalej experymentujemy z kształtami. Jest to ćwiczenie dla cierpliwych, ponieważ aby uzyskać jakiś ciekawy kształ bryły trzeba się nieźle napracować.

                    

    W trakcie tego ćwiczenia bryłę sześcianu jak w poprzednim ćwiczeniu można podobnie modyfikować. Aby dostać się do niektórych kul należy bryłę obrócić, co jest w tym ćwiczeniu możliwe.

    Spróbuj tą metodą uzyskać kształty, których nie mogłeś uzyskać w poprzednim ćwiczeniu, na przykład bryłę pokazaną na rysunku obok.

    Ćwiczenie dostępne jest w dziale Matematyka/Fizyka/Ćwiczenia.


    opracował Witold Wojcik










     

    Dodawanie



    Ćwiczone umiejętności:

  • Organizowanie liczb
     
  • System dziesiętny
     
  • Dodawanie
     
  • Analiza i Synteza
     
  • Wyobraźnia


  • Ćwiczenie wyjaśnia istotę dodawania z grupowaniem dziesiętnym. Pokazuje dlaczego dodając przedmioty lepiej grupować je tak aby można było określić ich ilość w systemie dziesiętnym.

    W praktyce dodawanie obiektów na przykład kulek nie wymaga żadnych specjalnych operacji z tego powodu, że obojętne jest nam jak są one ułożone i pogrupowane, możemy je poprostu trzymać w jakimś wyznaczonym miejscu i to wszystko. Zapytani jednak o ilość tych przedmiotów musimy je pogrupować aby skorzystać z symbolicznego zapisu liczb odpowiadających ilości przedmiotów jakie posiadamy, a to już wymaga odpowiedniegoich uporządkowania.

    Jak wiemy w systemie dziesiętnym, aby móc zapisać ilość, obiekty grupujemy w dziesiątki, setki, tysiące itd. To co nam zostaje po grupowaniu to jedności. Dodając przedmioty, aby nie utracić możliwości łatwego zapisu ilości możemy od razy dodawać je grupami tak jak to robimy z liczbami.

    Oczywistym się staje, że aby utrzymać porządek zgodnie z systemem dziesiętnym będziemy dodawać grupy sobie podobne, a więc dziesiątki do dziesiątek, jedności do jednostek, itd. Jeśli przy tych operacji powstaną nowe grupy o wyższej randze, na przykład w wyniku dodawania jedności powstanie dziesiątka to wyodrębniamy ją, a resztę jedności pozostawiamy. Wynik końcowy naszych operacji będzie łatwy do zinterpretowania i zapisania w postaci liczbowej.

    W naszym ćwiczeniu, dwie liczby które mamy dodać zosały przedstawione w postaci odpowiednio pogrupowanych zbiorów kulek. Algorytm jaki został zastosowany nie pozwala grupować kulek niezgodnie z przyjętą zasadą dodawania liczb w systemie dziesiętnym i dopuszcza tylko operacje dające pożądany efekt. Wyodrębnia również ze zbiorów nowe grupy jeśli zachodzi odpowiednia sytuacja.

    Kulki zostały ułożone w fantazyjne figury ułatwiające rozróżnienie ilości. Rysunki można przesuwać. Łączenie grup dokonuje się przez nakładanie górnych części obrazków na siebie.

    Przyjemnej zabawy!


    Ćwiczenie dostępne jest w dziale Matematyka/Fizyka/Ćwiczenia.

    opracował Witold Wojcik






     

    Dodajemy liczby



    Ćwiczone umiejętności:

  • Organizowanie liczb
     
  • Dodawanie w systemie
     
  • Wyobrażnia
     
  • Rozumienie


  • Ćwiczenie ma pokazać, że liczby w systemie dziesiętnym dodajemy podobnie jak obiekty grupowane w systemie dziesiętnym w poprzednim ćwiczeniu. Porównanie obu ćwiczeń pozwoli zrozumieć istotę przeniesienia przy dodawaniu.

    W celu dodania liczb należy najpierw oddzielić jedności przeciągając je za pomocą myszki. Następnie można dodawać grupy o jednakowej wadze.

    Uwaga: Aby graficznie dodać do siebie jednakowe wagą grupy liczb (jednostki do jednostęk, dziesiątki do dziesiątek, itd.) należy je do siebie zbliżyć i ewentualnie kliknąć.

    Po zakończeniu dodawania w grupach należy wynik wpisać po znaku równości w polu tekstowym. Można też wpisać go na początku ćwiczenia jeśli potrafimy dodać liczby w pamięci. Klikając w dowolne miejsce poza polem sumy, na przykad na słonia, uzyskamy informacje o prawidłowości odpowiedzi.

    Jeśli przy graficznej operacji dodawania powstanie grupa o wyższej randze to zostanie ona automatycznie wyodrębniona a nadmiar pozostawiony oddzielnie. Wynik końcowy naszych operacji będzie przedstawiony w postaci osobnych grup o różnych wagach przez co wynik końcowy łatwo wpisać w postaci pozycyjnej.

    Przyjemnej zabawy!

    Ćwiczenie dostępne jest w dziale Matematyka/Fizyka/Ćwiczenia.

    opracował Witold Wojcik







     

    Algorytm dodawania



    Ćwiczone umiejętności:

  • Dodawanie
     
  • Rozumienie
     
  • Sprawność obliczeń
     
  • Wyobrażnia


  • Cwiczenie jest programem treningowym umożliwiającym mistrzowskie opanowanie algorytmu dodawania. Jest on prosty do zrozumienia jeśli poprzednie ćwiczenia zostały zrozumiane.

    Aby uzyskać wynik dodawania dodajemy do siebie cyfry w kolejnych kolumnach zaczynając od kolumny jedności (pierwsza z prawej). Jeśli po dodaniu cyfr w kolumnie wynik jest jednocyfrowy wpisujemy go pod kreską i przechodzimy do następnej kolumny.

    Jeśli wynik w kolumnie jest wielocyfrowy wpisujemy tylko ostatnią cyfrę, a pozostałą część (przeniesienie) zapamiętujemy, po to aby ją dodać w następnej kolumnie.

    Jeśli dodawanych liczb jest dużo, możemy nie obciążać naszej pamięci zapisując przeniesienia nad każdą następną kolumną w lewo. W naszym ćwiczeniu przeniesienia będziemy zapamiętywali. Jeśli chcesz zobaczyć jak zapisywać przeniesienia kliknij [HELP].

    Dodając cyfry w kolumnach uwzględniamy zapamiętane lub zapisane liczby przeniesienia.


    Przyjemnej zabawy!

    Ćwiczenie dostępne jest w dziale Matematyka/Fizyka/Ćwiczenia.

    opracował Witold Wojcik






     

    Algorytm odejmowania



    Ćwiczone umiejętności:

  • Odejmowanie
     
  • Rozumienie
     
  • Sprawność obliczeń
     
  • Wyobrażnia


  • Ćwiczenie jest programem treningowym przeznaczonym do opanowania algorytmu odejmowania.

    Aby uzyskać wynik odejmujemy kolejno od siebie cyfry w kolejnych kolumnach zaczynając od kolumny jedności. Jeśli liczba od której odejmujemy jest za mała, dodajemy do niej 10 i zabieramy jedynkę z liczby w kolumnie na lewo. Wynik zapisujemy pod kreską i przechodzimy do następnej kolumny. Musimy pamiętać, że jeśli zabraliśmy jedynkę z jakiejś kolumny liczba w niej jest o jeden mniejsza, co musimy uwzględnić przy odejmowaniu.

    Aby nie zapomnieć o zabraniu jedynki z liczby w jakiejś kolumnie możemy nad kolumną zapisać -1. W naszym ćwiczeniu będziemy zapamiętywali zabrane jedynki, aby jednak zobaczyć jak się to robi kliknij [HELP].


    Przyjemnej zabawy!

    Ćwiczenie dostępne jest w dziale Matematyka/Fizyka/Ćwiczenia.

    opracował Witold Wojcik








     

    Mnożenie przez dodawanie



    Ćwiczone umiejętności:

  • Mnożenie a dodawanie
     
  • Wyobraźnia
     
  • Rozumienie
     
  • Sprawność obliczeń


  • Ćwiczenie pokazuje mnożenie liczb jako wielokrotne powielanie. Ma ono za zadanie pobudzić wyobrażnię ucznia w celu ułatwienia zrozumienia.

    W celu wykonania mnożenia liczb należy najpierw powielić liczbę po lewej stronie. Wykonamy to przeciągając za pomocą myszki osobno jednostki i osobno dziesiątki odpowiednią ilość razy zgodnie z liczbą przez którą mnożymy. Układamy je grupami po lewej stronie okna. Następnie wykonujemy dodawanie poprzez zbliżenie grup tego samego typu (jednostki do jednostek, dziesiątki do dziesiątek). Czasem próbę należy ponowić klikając to na jedną to na drugą liczbę.

    Po zakończeniu dodawania w grupach należy wynik wpisać po znaku równości. Klikając na słonia uzyskamy informacje o prawidłowości odpowiedzi.

    Jeśli przy graficznej operacji dodawania powstanie grupa o wyższej randze to zostanie ona automatycznie wyodrębniona a nadmiar pozostawiony oddzielnie. Wynik końcowy naszych operacji będzie przedstawiony w postaci osobnych grup o różnych wagach przez co wynik końcowy łatwo wpisać w postaci pozycyjnej.

    Przyjemnej zabawy!

    opracował Witold Wojcik









     

    Mnożenie liczb całkowitych



    Ćwiczone umiejętności:

  • Mnożenie a powielanie
     
  • Wyobraźnia
     
  • Rozumienie
     
  • Pojęcie powierzchni


  • Ćwiczenie pobudza wyobraźnię ucznia, pokazując mnożenie liczb naturalnych jako powielanie wierszy o ilości kratek odpowiadającej powielanej, mnożonej liczbie. Możliwe jest wprowadzenie pojęcia powierzchni jak ilości jednostkowych elementów.

    Mnożenie można zastąpić wielokrotnym dodawaniem. W tym ćwiczeniu będziemy zaznaczać prostokąty, których kratki będą reprezentować wyniki mnożenia dwóch liczb.

    Jeśli na przykład mamy pomnożyć 5x7 to zamalujemy najpierw 5 kratek w pierwszym wierszu pod jedynką do piątki, a następnie podobnie zamalujemy kratki w kolejnych wierszach tak aby w sumie było ich 7. W ten sposób będziemy mieli 7 wierszy po 5 kratek w każdym, czyli 5x7=35 zamalowanych kratek w tak powstałym prostokącie.

    Łatwo jest zauważyć, że nasz prostokąt można opisać również podając, że jest to 5 kolumn po 7 kratek w każdej czyli 7x5=35. Jak widać wynik mnożenia nie zależy od kolejności ustawienia liczb. Mówimy, że mnożenie jest przemienne.

    Punkty za kolejne ćwiczenia są dodawane i wyświetlane w okienku nagroda.

    Punkty za ostatnie ćwiczenie pokazane są w nawiasie. Kratki w prostokącie można policzyć, ale proponujemy kliknąć ostatnią kratkę. Po kliknięciu, pokaże się wynik mnożenia. Jednocześnie program policzy prawidłowo zamalowane kratki (niebieskie) oraz zamalowane nieprawidłowo (różowe).

    Za każdą prawidłową kratkę gracz uzyskuje 1 punkt, a za nieprawidłową -5 punktów karnych. Jeśli punktów karnych jest więcej niż uzyskanych punktów prawidłowych za ćwiczenie otrzymujemy 0.


    Czas wykonywania ćwiczeń jest mierzony zainstalowanym zegarem. Przyjemnej zabawy!

    Ćwiczenie dostępne jest w dziale Matematyka/Fizyka/Ćwiczenia.

    opracował Witold Wojcik






     

    Algorytm mnożenia



    Ćwiczone umiejętności:

  • Mnożenie
     
  • Wyobraźnia
     
  • Rozumienie
     
  • Sprawność obliczeń


  • Ćwiczenie jest programem treningowym pozwalającym na szybkie opanowanie algorytmu mnożenia.

    Ćwiczenie rozpoczynamy od mnożenia przez liczbę jednocyfrową.

    Aby uzyskać wynik mnożenia liczby jednocyfrowej przez wielocyfrową mnożymy liczbę jednocyfrową przez kolejne cyfry wielocyfrowej zaczynając od kolumny jednostek.

    Jeśli wynik jest jednocyfrowy zapisujemy go i przechodzimy do następnej kolumny w lewo, jeśli jest dwucyfrowy zapisujemy tylko drugą cyfrę a pierwszą (przeniesienie) zapamiętujemy aby ją następnie dodać do wyniku mnożenia w następnej kolumnie.

    Operację powtarzamy aż do przemnożenia wszystkich cyfr liczby wielocyfrowej przez jednocyfrową.

    A oto przykład:     6127 * 3   =   (  7     +      20      +     100      +      6000  ) * 3
    wykonujemy kolejno                  7 * 3  +  20 * 3  +  100 * 3  +  6000 * 3
    otrzymując:                                    21    +     60     +     300     +     18000     =     18381

    Można to pokazać w następujący sposób:
     
    mnożenia wyniki
    7*3    21
    20*3    60
    100*3   300
    6000*3 18000
    razem:18381

    Jeśli zrezygnujemy z pisania końcowych zer pamiętając o przesuwaniu kolejnych wyników o jedną kolumnę w lewo to otrzymamy:

    mnożenia     wyniki
    7*3    21
    2*3    6 
    1*3   3  
    6*3 18   
    razem:18381


    Wynik mnożenia 7*3 jest liczbą dwucyfrową i cyfra 2 jest przeniesieniem do następnej kolumny w lewo. Podobnie wynik 6*3 daje przeniesienie 1. Przeniesienia możemy zapamiętywać i dodawać w następnej kolumnie w lewo lub zapisać je osobno nad kolejną kolumną. Jeśli nie ma więcej kolumn na lewo jak w przypadku mnożenia 6*3 zapisujemy poprostu po lewej stronie w tym samym wierszu.

    Zapis mnożenia można dalej upraszczać następująco:
         
     6127
    *   3
       21
       6 
      3  
    18   
    18381
       2 
     6127
    *   3
        1
       6 
      3  
    18   
    18381
       2 
     6127
    *   3
    18361
    18381
       2 
     6127
    *   3
    18381
    pierwsza kolumna
    7 * 3 = 21, zapisz 1
    przenieś 2

    druga kolumna
    2 * 3 = 6, dodaj 2


    Po nabraniu wprawy w mnożeniu przez liczbę jednocyfrową zwiększamy ilość cyfr klikając na przycisk po lewej stronie.

    Mnożąc przez liczbę wielocyfrową postępujemy podobnie, z tym że obliczone osobno wyniki dla każdej cyfry mnożnika zapisujemy jedne pod drugimi przesuwając każdy kolejny o jedną kolumnę w lewo. Następnie sumujemy wyniki w kolumnach pamiętając o przeniesieniach.

    Metodę wyjaśnimy na przykładzie:
    1030 * 431 = 1030 * ( 1+30+400)    wykonujemy kolejno   1*1030  +  30*1030  +  400*1030
    otrzymując: 1030 + 30900 + 412000 = 443930 co stanowi wynik końcowy mnożenia.

    Można to pokazać następująco:

    mnożenia     wyniki
    1*1030              1030
    30*1030  30900
    400*1030 412000
      
    razem:443930


    Metoda jaką stosujemy różni sie tym, że mnożymy przez cyfry i zamiast dopisywać końcowe zera przesuwamy wyniki za każdym kolejnym razem o jedną kolumnę w lewo. Wygląda to tak:

    mnożenia     wyniki
    1*1030              1030
    3*1030  3090
    4*1030 4120
      
    razem:443930



    Przyjemnej zabawy!

    Ćwiczenie dostępne jest w dziale Matematyka/Fizyka/Ćwiczenia.

    opracował Witold Wojcik

     
    Część III - Programy Pomocnicze - to skuteczna metoda ułatwiająca rozumienie matematyki i rozwijająca zdolności matematyczne.



     

    Konwersja Binarna

    Ćwiczone umiejętności:

  • Zapis dwójkowy liczb
     
  • Rozumienie
     
  • Wprawa


  • Program ma za zadanie zweryfikować pracę ucznia i pomóc w zrozumieniu zapisu dwójkowego liczb i konwersji z systemu dziesiętnego na dwójkowy. W opisie można zapoznać się z algorytmami konwersji.

    Reprezentacja ilości w systemie pozycyjnym liczb o dowolnej bazie przedstawiana jest jako szereg potęgowy jak niżej:

    Q =  k=nΣk=0 akbk = anbn + an-1bn-1 + . . . + akbk + . . . + a2b2 + a1b1 + a0b0

    gdzie b jest ustaloną bazą system, n, k to liczby całkowite, natomiast a jest liczbą całkowitą pomiędzy 0 and b-1.  Zapis samej liczby wygląda następująco:  anan-1 . . . ak . . a2a1a0

    Przykład: 236024569 dziesiętna oraz 100110001 dwójkowa posiadają następujące rozwinięcia:

    236024569 = 2*108 + 3*107 + 6*106 + 0*105 + 2*104 + 4*103 +5*102 + 6*10 + 9
    oraz odpowiednio:
    100110001 = 1*28 + 0*27 + 0*26 + 1*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 0*2 + 1

    Dla liczb mniejszych od jedności wykładnik potęgi staje się ujemny niezależnie od systemu

    Q =  k=nΣk=-m akbk = anbn + . . . + akbk + . . . + a1b1 + a0b0 + a-1b-1 + a-2b-2 + . . . + a-mb-m


    W zapisie liczby część całkowita musi być oddzielona od ułamkowej kropką, bądź przecinkiem , zależnie od przyjętej umowy.

    Aby zamienić liczbę dziesiętną na jej ekwiwalent dwójkowy musimy znaleźć maksymalną potęgę n liczby 2, która jeszcze mieści się w danej liczbie, a zatem spełnia poniższą nierówność: 2n < D < 2n+1 where D jest liczbą dziesiętną przeznaczoną do zamiany na dwójkową.

    Niechaj nasz najwyższy wykładnik potęgi 2 wynosi n zatem wartość potęgi wynosi 2n. Spełnia ona nasze wymagania, a zatem zapisujemy 1, a następnie odejmujemy wartość potęgi 2n od naszej liczby. Otrzymujemy resztę, którą traktujemy jak następuje.

    Sprawdzamy czy wartość potęgi 2n-1 czyli o wykładniku mniejszym o 1 od poprzedniego mieści się w naszej reszcie. Jeśli tak zapisujemy 1 (następną jedynkę), a jeśli nie mieści się zapisujemy 0.

    Obliczamy następną ewentualną resztę i bieżemy następny mniejszy o jeden wykładnik potęgi czyli n-2 co odpowiada wartości potęgi 2n-2 i próbujemy dopasować tą wartość do ostatniej reszty. Jeśli ta wartość nie mieści się w reszcie zapisujemy 0 i przechodzimy do następnego mniejszego o 1 wykładnika, a jeśli mieści się zapisujemy 1 obliczamy następną resztę odejmując wartość od poprzedniej reszty i otrzymując nową resztę.

    Kontynuujemy tą procedurę aż do skutku to jest do uzyskania reszty=0 lub tak długo jak chcemy.

    Jeśli wykładnik potęgi stanie się w międzyczasie równy 0, to zanim przejdziemy do wykładników ujemnych zapisujemy kropkę.

    Uwaga: Jęśli reszta stanie się zerem zanim dojdziemy do n=0 pozostałe pozycje aż do n=0 uzupełniamy zerami (0)


    Nasz konwerter w oknie powyżej stosuje dokładnie tą samą metodę, która jest universalną zarówno dla liczb całkowitych jak też ułamkowych jednakże w przypadku potrzeby zamiany liczby dziesiętnej na dwójkową metoda ta jest niewygodna, zwłaszcza, że trzeba pamiętać lub obliczać kolejne wartości potęg liczby 2.

    Spójrzmy zatem jeszcze raz na szereg reprezentujący liczbę dwójkową. Zaczniemy od części całkowitej.
    Q =  k=nΣk=0 ak2k = an2n + an-12n-1 + . . . + ak2k + . . . + a222 + a12 + a0

    gdzie ak jest równe 0 lub 1

    Podzielmy szereg przez 2 i spójrzmy na wynik. W wyniku dzielenia otrzymujemy resztę, która jak widać jest równa a0.

    Po odjęciu reszty część całkowita wygląda następująco:

    Q =  k=nΣk=1 ak2k = an2n + an-12n-1 + . . . + ak2k + . . . + a222 + a12

    Po dalszym podzieleniu pozostałej części szeregu przez 2 otrzymujemy:

    Q =  k=nΣk=2 ak2k = an2n + an-12n-1 + . . . + ak2k + . . . + a222 + a1

    Tym razem resztą jest a1

    Powtarzając tą procedurę otrzymujemy kolejnowszystkie współczynniki   a0 , a1 , a2 , a3 . . . aż do ostatniego gdzie już nie będzie czego dzielić.

    Prześledźmy przykład zamiany liczby 325 na dwójkową.

    324/2 = 162 r0=0 Zapiszmy wszystkie reszty jedną za drugą w kolejności odwrotnej.
    r0 do r8
    co nam da wynik:

    101000100

    będący poszukiwanym zapisem dwójkowym liczby.
    162/2 = 81 r1=0
    81/2 = 40 r2=1
    40/2 = 20 r3=0
    20/2 = 10 r4=0
    10/2 =5 r5=0
    5/2 = 2 r6=1
    2/2 = 1 r7=0
    1/2 = 0 r8=1


    Jeśli liczba dziesiętna zawiera część ułamkową obie części traktujemy oddzielnie.
    Część całkowitą tak jak wyżej, a część ułamkową inaczej.

    Metodę łatwo odgadnąć przyglądając się szeregowi dla części ułamkowej. Aby uzyskać kolejne cyfry liczby dwójkowej mnożymy część ułamkową przez 2 i zapisujemy część całkowitą.

    Następnie oddzielamy część ułamkową, którą ponownie mnożymy przez 2 i zapisujemy część całkowitą...

    Procedurę kontynuujemy aż do uzyskania zerowej części ułamkowej lub tak długo jak chcemy aby uzyskać odpowiednią liczbę pozycji dwójkowych. Zapisujemy nasze części całkowite (zera lub jedynki) kolejno za kropką oddzielającą i oto nasz wynik.

    Prześledźmy tą metodę zamieniając 0.625 na zapis dwójkowy.

    0.625*2 = 1,250 I-1 = 1 Zapiszmy kolejne części całkowite

    .101

    i oto nasz rezultat
    0.250*2 = 0,500 I-2 = 0
    0.500*2 = 1.000 I-3 = 1


    Wykonaj kilka przykładów dla wprawy weryfikując wyniki za pomocą konwertora w dziale Matematyka/Fizyka/Pomoce/Matma Komputerowa.

    Powodzenia!

    Witold W.

    opracował Witold Wojcik



    Dodawanie liczb binarnych

    Ćwiczone umiejętności:

  • Zapis dwójkowy liczb
     
  • Rozumienie
     
  • Wprawa


  • Program ma za zadanie zweryfikować pracę ucznia i pomóc w zrozumieniu zasady dodawania liczb w systemie dwójkowym. W opisie można zapoznać się z algorytmem dodawania.

    Dodawanie w systemie dwójkowym jest proste. Wystarczy pamiętać, że 1 i 0 zawsze dają 1 oraz 1 plus 1 daje 0 plus jedynkę, którą należy dodać w następnej kolumnie, a zatem przykładowo: 1+1=10, 1010+10=1100 , etc.

    Wystarczy zatem zrobić kilkanaście przykładów aby całkowicie opanować umiejętność dodawania w tym systemie. Klawisz [HELP] pomoże zapominalskim prawidłowo dodać tak zwane przeniesienia do następnej kolumny.

    Powodzenia !

    Program jest dostępny w dziale Matematyka/Fizyka/Pomoce/Matma Komputerowa.

    opracował Witold Wojcik





    Odejmowanie liczb binarnych

    Ćwiczone umiejętności:

  • Odejmowanie liczb dwójkowych
     
  • Rozumienie
     
  • Wprawa


  • Program ma za zadanie zweryfikować pracę ucznia i pomóc w zrozumieniu zasady odejmowania liczb w systemie dwójkowym. W opisie można zapoznać się z algorytmem odejmowania. opracował Witold Wojcik




    Mnożenie liczb binarnych

    Ćwiczone umiejętności:

  • Mnożenie liczb dwójkowych
     
  • Rozumienie
     
  • Wprawa


  • Program ma za zadanie zweryfikować pracę ucznia i pomóc w zrozumieniu zasady mnożenia liczb w systemie dwójkowym. W opisie można zapoznać się z algorytmem mnożenia. opracował Witold Wojcik




    Dzielenie liczb binarnych - w przygotowaniu

    Ćwiczone umiejętności:

  • Dzielenie liczb binarnych
     
  • Rozumienie
     
  • Wprawa


  • Program ma za zadanie zweryfikować pracę ucznia i pomóc w zrozumieniu zasady dzielenia liczb w systemie dwójkowym. W opisie można zapoznać się z algorytmem dzielenia. opracował Witold Wojcik




    Konwersja 10/16 - w przygotowaniu

    Ćwiczone umiejętności:

  • Konwersja 10/16
     
  • Rozumienie
     
  • Wprawa


  • Program ma za zadanie zweryfikować pracę ucznia i pomóc w zrozumieniu zasady zamiany liczb w systemie dziesiętny na system szestnastkowy. W opisie można zapoznać się z algorytmem zamiany. opracował Witold Wojcik




    Konwersja IP/10 - w przygotowaniu

    Ćwiczone umiejętności:

  • Zapis adresów IP
     
  • Rozumienie
     
  • Wprawa


  • Program ma za zadanie zweryfikować pracę ucznia i pomóc w zrozumieniu zasady zamiany adresu IP wyrażonego w systemie o bazie 256 i dziesiętnym zapisem poszczególnych pozycji cyfrowych na system dziesiętnym. W opisie można zapoznać się z algorytmem zamiany. opracował Witold Wojcik




    Strona, którą aktualnie przeglądasz ma charakter informacyjny. Gry i ćwiczenia omówione powyżej nie funkcjonują w ramach tej strony. Aby móc z nich korzystać musisz skorzystać ze skrótu "Gry i zabawy" znajdującym się w menu głównym na górze. Dział ćwiczeń z matematyki otworzysz klikając na "Matematyka/Fizyka" w menu głównym na górze, a następnie wybierając "Ćwiczenia" w menu bocznym po lewej stronie.